设等比数列{an}的前n项和Sn,首项a1=1,公比.
(Ⅰ)证明:Sn=(1+λ)-λan;
(Ⅱ)若数列{bn}满足,bn=f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)若λ=1,记,数列{cn}的前项和为Tn,求证:当n≥2时,2≤Tn<4.
网友回答
解:(Ⅰ)证明:
而所以Sn=(1+λ)-λan
(Ⅱ),∴,∴,
∴是首项为,公差为1的等差数列,,即.
(Ⅲ)λ=1时,,∴∴∴
相减得∴
∴,
又因为,∴Tn单调递增,
∴Tn≥T2=2,故当n≥2时,2≤Tn<4.
解析分析:(Ⅰ)先求等比数列{an}的前n项和Sn,再表达出,故可证;
(II)先求出bn,再进一步变形,判断出是等差数列,根据等差数列的通项公式求出{bn}的通项公式;
(III)先求出Cn,再由错位相减法求出该数列的前n项和为Tn.
点评:本题是数列的综合题,考查等差数列、等比数列的通项公式,涉及了错位相减法求数列的前n项和,考查了分析问题和解决问题的能力.