一阶线性微分方程,一阶线性微分方程？

网友回答

解：先算对应的齐次方程的解。
　　y'+P(x)y=0
　　y'/y=-P(x)
　　lny=-∫P(x)dx+C
　　y=ke^(-∫P(x)dx)
　　下面用常数变易法求解原方程的解。
　　设k为u(x)
　　y=u(x)e^(-∫P(x)dx)
　　y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
　　代入得：
　　Q(x)
　　=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
　　u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C
　　y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)

网友回答

可以从n阶线性微分方程的形式来看:
　　y^(n)+a1(x)×y^(n-1)+a2(x)×y^(n-2)+……+an(x)×y=f(x)
　　应该满足条件:
　　n阶导数的系数为常数，其线性满足，若n阶导数的系数不为常数，可做变换将其变为常数，且在将方程的n阶导数变换为常数后，方程中只能含有y的一次方(也可能没有)，但不能含有y的其他次方。
　　例如提问中yy'-2xy=3，最终可化成y'-2x=3/y，最高阶是一阶，但是存在1/y，故不是一阶线性微分方程
　　第二个式子含有cosy更不可能是
　　第三个变换后也可看得不是
　　再理解一阶线性微分方程的定义:
　　y'+P(x)y=Q(x)
　　线性其实是满足在变换后只存在y的一次方。