求解一个简单一阶线性微分方程,什么叫做一阶线性微分方程？

网友回答

求微分方程 xy'-y=2x³满足初始条件y(1)=1的特解。
　　解：由原方程可见：x≠0；因为若x=0，则y=0，不可能初始条件满足y(1)=1。所以可用x同除两边。
　　两边同除以x得 y'-(y/x)=2x²............①
　　先求齐次方程 y'-(y/x)=0的通解：
　　分离变量得：dy/y=dx/x；积分之得lny=lnx+lnc₁=lnc₁x;
　　故齐次方程的通解为：y=c₁x；把c₁换成x的函数u，得y=ux...........②
　　将②对x取导数得y'=u'x+u...........③
　　将②③代入①式得：u'x+u-(ux/x)=2x²；
　　化简得u'x=2x²，即u'=2x，du=2xdx，积分得u=x²+c；
　　代入②式即得原方程的通解为：y=x³+cx；
　　代入初始条件得1=1+c，故c=0；于是得特解为：y=x³.

网友回答

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。