如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．

网友回答

证明：过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1（如图），考虑四边形AOBC1．

因为∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，
所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．
所以△A1B1C1为正三角形．
设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．
由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1+S△PA1B1
知h?a=ha?a+hb?a+hc?a，
所以h=ha+hb+hc．
这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA+OB+OC=h=定值．
显然，PA+PB+PC＞P到△A1B1C1三边距离和，
所以PA+PB+PC＞h=OA+OB+OC．

解析分析：过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1（如图），即可判定△A1B1C1为正三角形，设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h，则可以证明以h=ha+hb+hc，根据PA+PB+PC＞P到△A1B1C1三边距离之和，即可解题．

点评：本题考查了等边三角形的证明，考查了正三角形内任一点P到三边的距离和等于该等边三角形的高h，本题中求证正三角形内任一点P到三边的距离和等于该等边三角形的高h是解题的关键．