关于正态分布里给了积分公式的问题∫∞e^-[(t^2)/2]=√2π 这个式子的推导方法-∞

网友回答

首先换元令t/√2=x,则dt=√2dx
原积分=√2∫[-∞→+∞] e^(-x²) dx
下面计算∫[-∞→+∞] e^(-x²) dx
给你一个不是很严密的做法,严格做法在同济大学高等数学教材中有（下册二重积分极坐标部分）,这个答案是我以前写的,积分变量用的是t
设u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
两边平方：下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞用极坐标=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限=π这样u^2=π,因此u=√π
本题不严密处在于,化为二重积分时,其实不应该是一个圆形区域,而应该是矩形区域,书上有这个处理方法,利用夹逼准则将圆形区域夹在两个矩形区域之间来解决这个问题.
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