如图所示,ABCD是一个矩形花坛,其中AB=6米,AD=4米.现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求:B在AM上,D在AN上,对角线MN过C点,且

发布时间:2020-08-04 13:51:50

如图所示,ABCD是一个矩形花坛,其中AB=6米,AD=4米.现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求:B在AM上,D在AN上,对角线MN过C点,且矩形AMPN的面积小于150平方米.
(1)设AN长为x米,矩形AMPN的面积为S平方米,试用解析式将S表示成x的函数,并写出该函数的定义域;
(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.

网友回答

(1)解:设AN的长为x米(x>4)
由题意可知:∵=,∴=,
∴|AM|=,
∴SAMPN=|AN|?|AM|=,
由SAMPN<150,得<150,(x>4),
∴4<x≤25,
∴S=.定义域为4<x≤25.
(2)∵S==
=6(x-4)++4≥2+4=8+4
当且仅当6(x-4)=,即x=4+时,取“=”号
即AN的长为4+米,矩形AMPN的面积最小,最小为80+4米.

解析分析:(1)由题意设出AN的长为x米,因为三角形DNC相似于三角形ANM,则对应线段成比例可知AM,由此能用解析式将S表示成x的函数,并求出该函数的定义域.
(2)利用a+b≥2,当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最小值即可;


点评:本题考查根据题设关系列出函数关系式,并求出处变量的取值范围;考查利用基本不等式求最值,解题的关键是确定矩形的面积.
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