正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）当M点运动到BM的长为1时，

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（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMB+∠CMN=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴△ABM∽△MCN；

（2）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=1，
∴CM=BC-BM=3，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
即，
∴CN=；

（3）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=x，
∴CM=BC-BM=4-x，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
∴，
∴CN=，
∵梯形ABCN面积为10，
∴S梯形ABCN=（CN+AB）?BC=×[+4]×4=10，
整理得：x2-4x+4=0，
解得：x=2；

（4）解：设BM=x，
∵正方形ABCD边长为4，
∴CM=BC-BM=4-x，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
∴，
∴CN=，
∴在Rt△ABM中，AM2=AB2+BM2=16+x2，
在Rt△CMN中，MN2=CM2+CN2=（4-x）2+[]2=，
∵∠B=∠AMN=90°，
∴当时，△ABM∽△AMN，
∴当，即时，△ABM∽△AMN，
解得：x=2，
∴BM=2，
∴当BM=2时△ABM与△AMN相似．
解析分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAM=∠CMN，然后由有两角对应相等的三角形相似，即可得△ABM∽△MCN；
（2）由正方形ABCD边长为4，BM的长为1，则可求得CM的值，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CN的长；
（3）由BM=x，根据相似三角形的对应边成比例，可表示出CN的长，又由梯形ABCN面积为10，即可求得x的值；
（4）由相似三角形的对应边成比例，即可得当时，△ABM∽△AMN，继而可求得