如图，在圆O中AB是直径，AT是经过点A的切线，弦CD垂直AB于P点，线段CP的中点为Q，连接BQ并延长交切线AT于T点，连接OT．（1）求证：BC∥OT；（2）若⊙

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解：（1）取BP的中点E，连接QE；
∵Q是PC的中点，E是PB的中点，
∴QE为△PBC的中位线，QE∥BC；
∵AT为经过A点的切线，AB为直径，
∴AT⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AT∥CD，∠TAO=∠QPE=90°，
∴△BPQ∽△BAT，
∴；
∵PB=2PE，AB=2AO，
∴，
∴△TAO∽△QPE，
∴∠AOT=∠PEQ，
∴OT∥QE；
∵QE∥BC，
∴BC∥OT．

（2）∠AOT=∠CBP；
∵CD⊥AB，AB为直径CD=8，
∴CP=PD=4；
连接OC，在Rt△OCP中，
∵PC=4，OC=AB=5，
∴OP=3，
∴PB=OB-OP=2，
∴△ATO∽△CPB，
∴；
∵AO=AB=5，
∴AT=10．

（3）在Rt△OAT中，OT==5，
∵AT∥CR，
∴△AOT∽△POR，
∴，
OR=，
∴TR=OT+OR=8．
解析分析：（1）此题要通过构造相似三角形求解，由于P是CD的中点，由垂径定理知CD⊥AB，有切线的性质可得：AT⊥AB，由此可证得CD∥AT，得BP：PQ=BA：AT，取BP的中点E，则PB=2QE，又因为BA=2OA，等量代换后可证得PE：QP=OA：AT，由此可得△PQE∽△AEO，根据相似三角形所得的等角，可证得QE∥OT，而QE是△PBC的中位线，则QE∥BC，根据平行线的传递性即可证得OT∥BC．
（2）（3）题可利用△ATO∽△CPB求出AT和OT的值，再利用△AOT∽△POR求出OR的值，从而解决问题．

点评：本题主要是考查切线的性质、三角形中位线定理、勾股定理及相似三角形的判定和性质．解题的关键是构造出与所求相关的三角形中位线，通过三角形中位线定理和圆的切线性质得出三角形相似，从而解决问题．