已知奇函数f（x）=lg，（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并证明．

网友回答

解：（1）∵f（x）是奇函数∴f（x）+f（-x）=0，即=0 解得a=1
故a的值为1
（2）由（1）知f（x）=lg，定义域为（-1，1），
函数f（x）在定义域上单调递减，证明如下：
任取，x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=-=
∵x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2
∴（1-x1+x2-x1x2）-（1+x1-x2-x1x2）=2（x2-x1）＞0，
所以1-x1+x2-x1x2＞1+x1-x2-x1x2，
因为1+x1-x2-x1x2=（1+x1）（1-x2）＞0，
所以，从而，
即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在定义域（-1，1）上单调递减．
解析分析：（1）根据奇函数的性质f（x）+f（-x）=0可求得a的值．
（2）先求得函数的定义域，再利用函数单调性的定义判断并证明函数f（x）在定义域上的单调性．

点评：本题考查了函数的单调性，本题需要用定义证明，化简时需要注意应先比较真数与1的大小，才能得到f（x1）与f（x2）的大小，计算量大，属中档题．