如图，已知抛物线的顶点A在y轴上，坐标A（0，1）矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），S矩形CDEF=8（1）求此抛物线的

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解：（1）∵矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），S矩形CDEF=8，
∴EF×DE=8，
∴DE=4，∴F点坐标为：（2，2），
设抛物线的解析式为y=ax2+c，其过点A（0，1）和F（2，2），
所以，，
解得：，
所以，此函数解析式为y=x2+1；


（2）如图1，过点B作BT⊥MR于T，
∵M点在抛物线y=x2+1上，可设点M（a，a2+1），
∴MR=a2+1，OB=RT=2，BT=a，
∴MT=MR-TR=a2+1-2=a2-1，
在Rt△BMT中，MB2=BT2+MT2=（a2-1）2+a2=（a2+1）2，
∴BM=a2+1，
∵MR=a2+1，
∴MB=MR；

（3）如图2，若以点P、R、M为顶点的三角形和以P、N、Q为顶点的三角形相似，
∵∠PRM=∠PQN=90°，
∴分△PQN∽△MRP和△PQN∽△PRM两种情况，
当△PQN∽△MRP时，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，
根据直角三角形两锐角互余可得，∠NPQ+∠RPM=90°，
∴∠NPM=90°，
取MN的中点W，连接WP，则WP=MN=（NQ+MR），
∴WP为梯形NQRM的中位线，
∴P为QR的中点；
当△PQN∽△PRM时，
∵=，
∵MB=MR，同理可得出：NB=NQ，
∴==，
又∵=，
∴点P与点O重合，
综上所述，点P为QR的中点时，△PQN∽△MRP；点P为原点时△PQN∽△PRM．
解析分析：（1）设抛物线的顶点式形式为y=ax2+c，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）过点B作BT⊥MR于T，根据点M在抛物线上设点P的坐标为（a，a2+1），然后表示出MT、BT、BM，再根据图形求出MT=MR-RT，在Rt△BTM中，利用勾股定理列式表示出MB2，从而得证；
（3）根据∠PRM=∠PQN=90°，分△PQN∽△MRP时，根据相似三角形对应角相等可得，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，再根直角三角形的性质求出∠NPM=90°，取MN的中点为W，连接WP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半表示出WP=MN=（NQ+MR），从而判定WP为梯形NQRM的中位线，得到点P为QR的中点△PQN∽△PRM时，根据相似三角形对应边成比例可得==，再根据=，可得点P与原点O重合．

点评：此题主要考查了二次函数综合题中二次函数的对称性、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的应用以及相似三角形对应边成比例的性质等知识，综合性较强，难度较大，求点P的位置时要注意根据相似三角形对应边的不同分情况进行讨论．