如图，在矩形ABCD中，BC=4，以BC为直径作半圆O与AD相切，对角线AC与半圆相交于点M．点E、F分别是BC、CD边上的动点，且CF=2CE，线段EF与AC相交于

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（1）证明：∵半圆O与AD相切，
∴AB=BO，
又BC=4，∴AB=2，
∵AB：BC=1：2，CE：CF=1：2，
∴AB：BC=CE：CF，
又∵∠ABC=∠ECF=90°，
∴△ABC∽△ECF，
∴∠BAC=∠FEC；
（2）证明：∵∠FEC=∠BAC，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠GCE+∠FEC=90°，
∴∠CGE=90°，
∴CG⊥EF，
∴EF是⊙C的切线；
（3）解：过M作MH⊥BC?垂足为H，如图，
则MH∥AB，
∴，BC=2AB，
设MH=h??则CH=2h，OH=CH-CO=2h-2，
连接OM，在Rt△MHO中，∠MHO=90°，
∴MH2+HO2=OM2，即h2+（2h-2）2=22，解得h1=0（舍去），h2=，
∴MH=，
∵S△MEC=S△EFC，
∴CE?MH=CE?CF，
∴CF=MH=，
∴CE=，
在Rt△CEF中，EF==，
∵CG?EF=CF?CE，即CG?=?，
∴CG=，
即⊙C的半径CG=．
解析分析：（1）根据矩形和切线的性质得到AB=BO，易得AB：BC=CE：CF=1：2，则可判断△ABC∽△ECF，所以∠BAC=∠FEC；
（2）由∠FEC=∠BAC，∠ACB+∠BAC=90°，则∠GCE+∠FEC=90°，所以∠CGE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）过M作MH⊥BC?垂足为H，如图，则MH∥AB，所以，利用BC=2AB，设MH=h??则CH=2h，OH=CH-CO=2h-2，在Rt△MHO中根据勾股定理计算出h=，即MH=，再利用S△MEC=S△EFC计算出CF=MH=，则CE=，然后在Rt△CEF中利用勾股定理计算出EF，再根据三角形面积公式可计算出CG．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和三角形相似的判定与性质．