如图,半圆O为△ABC的外接圆,AC为直径,D为劣弧BC上一动点,P在CB延长线上,且满足∠BAP=∠BDA,
(1)求证:AP为⊙O切线;
(2)若四边形ABDO为菱形,求证:BD2=BE?BC.
网友回答
解:(1)∵∠BDA和∠BCA为同弧所对的圆周角,
∴∠BDA=∠BCA.
又AC为直径,
∴∠ABC=90°.
即∠ACB+∠BAC=90°.
又∠BAP=∠BDA,
∴∠BAP+∠BAC=90°.
即AP为切线.
(2)∵四边形ABDO为菱形,
∴AB=BD.
∴∠BAD=∠BDA.
又∵∠BDA和∠BCA为同弧所对圆周角,
∴∠BDA=∠BCA.
∴∠BAD=∠BDA=∠BCA.
∵∠ABC=∠EBA,
∴△ABC∽△EBA.
∴.
∵AB=BD.
∴.
即BD2=BE?BC.
解析分析:(1)因为∠BDA和∠BCA为同弧所对的圆周角,所以相等,又AC为直径,所以∠ABC=90°,即∠ACB+∠BAC=90°,又∠BAP=∠BDA,所以∠BAP+∠BAC=90°,即AP为切线.
(2)证BD2=BE?BC,即,而若四边形ABDO为菱形,那么AB=BD,所以有,即证△ABC∽△ABE即可,
点评:此题综合考查了切线的判定以及相似三角形的判定方法的运用.