已知函数f(x)(x∈R且x>0),对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x>1时,f(x)>0恒成立。 (1)求f(1);
(2)证明方程f(x)=0有且仅有一个实根;
(3)若x∈[1,+∞)时,不等式恒成立,求实数a的取值范围。
网友回答
答案:解:(1)令x=y=1,∴f(1)=2f(1),∴f(1)=0;
(2)任取,则,由题意,,
又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),所以f(xy)-f(y)=f(x),
∴,∴,
∴函数f(x)在其定义域内为增函数,由(1)和f(1)=0,所以,1为方程f(x)=0的一个实根;
若还存在一个x0,且x0>0,使得,
因为函数f(x)在其定义域内为增函数,必有,故方程f(x)=0有且仅有一个实根;
(3)由(2)知函数f(x)在其定义域内为增函数,
当x∈[1,+∞)时,不等式恒成立,
即恒成立,
即,即在x∈[1,+∞)时恒成立,
∵,
∴a>-2。