设随机变量（X,Y）的联合概率密度分别如下：00 其他 \x05求（1）系数k; (2) P(XY)

网友回答

随机变量（X,Y）的联合概率密度分别如下：
f（x,y）={ke^-(3x+4y)} ,x,y>00 其他 (1) ∫∫ f(x,y)dxdy=1
所以∫(0,∞)∫(0,∞) k*e^-(3x+4y) dxdy
=k*∫(0,∞) dx ∫(0,∞)e^-(3x+4y)dy
=k*∫(0,∞) dx (-1/4)*e^(-3x-4y) (0,∞)
=k/4*∫(0,∞) e^(-3x) dx
=k/4*(-1/3)*e^(-3x) (0,∞)
=k/12所以k=12
(2)P(XY)是求什么
(3)E(XY)=∫∫ xy*f(x,y)dxdy
=12∫(0,∞) x*e^(-3x) dx ∫(0,∞) y*e^(-4y) dy
这里 ∫(0,∞) x*e^(-3x) dx
=(-1/3)∫(0,∞) x*d(e^(-3x) )
=(-1/3)*x*e^(-3x) (0,∞)+1/3*∫(0,∞) e^(-3x) dx
=1/3*(-1/3)*e^(-3x) (0,∞) =1/9
同样 ∫(0,∞) y*e^(-4y) dy=1/16
所以E(XY) =12∫(0,∞) x*e^(-3x) dx ∫(0,∞) y*e^(-4y) dy=12*1/9*1/16=1/12