如图,BC是半圆O的直径,割线EDB交半圆O于D,A是半圆O上一点,AD=DC,EC=3,BD=2.5,tan∠DCE=.
(1)求证:EC是⊙O的切线;
(2)求AB的长.
网友回答
(1)证明:∵BC为直径
∴∠BDC=∠CDE=90°
∵tan∠DCE==
设ED=,DC=5x
∵EC=3
∴ED2+DC2=EC2∴(2x)2+(5x)2=9
∴x=∴
∵tan∠DBC===tan∠DCE
∴∠DBC=∠DCE
∴∠DCE+∠DCB=∠DBC+∠DCB=90°
∴EC为切线.
(2)解:连AC交BD于F
由(1)得,AD=DC=,BC=
∵△ADF∽△BCF
∴=
设DF=2x,则CF=3x
∵CF2-DF2=CD2
∴9x-4x=5
∴x=1
∴DF=2,CF=3
∴BF=
∵AF=
∴AB==.
解析分析:(1)欲证EC为切线,即证∠ECB=90°.
(2)连接AC交BD与F,根据相似三角形的判定可得到△ADF∽△BCF根据相似比即可求得AB的长.
点评:此题主要考查了三角函数、相似的判定、勾股定理以及相交弦定理等知识点的综合运用.