已知:a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边,a>b,关于x的方程x2-2(a+b)x+2ab+c2=0有两相等的实数根,且sin∠A:sin∠B=4:3,若△ABC外接圆面积为25π,求△ABC的周长.
网友回答
解:关于x的方程x2-2(a+b)x+2ab+c2=0有两相等的实数根,
∴方程的根的判别式为0,
即4(a+b)2-4(2ab+c2)=0,
整理得a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形且∠C为直角.
又sin∠A:sin∠B=4:3,
可设a=4k,b=3k,c=5k;
因为Rt△ABC的斜边为外接圆直径,
∴,
解得k=2,
∴a=8,b=6,c=10;
即△ABC的周长为8+6+10=24.
解析分析:根据一元二次方程有两相等的实根知△=0,得出关于a,b,c的勾股算式,知道C为斜边a,b为直角边,由△ABC的外接圆面积知道C的长;再根据勾股定理和正切余切的关系式求出b,c的长,再求出△ABC的周长.
点评:本题主要考查根的判别式,勾股定理及三角形外接圆的特点.