如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动.试计算,
(1)当运动时间为多少时,直线PQ四边形截出四边形是一个平行四边形?
(2)在直线PQ所截出的平行四边形中,在PQ的对边任取一点O,连接OP、OQ,得到△OPQ,则△OPQ的面积与直线PQ所截出的平行四边形的面积有何关系?并说明理由.(在图1、图2中任取一种画出图形,说明理由即可.)
网友回答
解:(1)设运动时间为t秒时,直线PQ四边形截出四边形是一个平行四边形,
①当AP=BQ时,AP=t,BQ=6-2t,
∴t=6-2t,
解得t=2,
②当PD=CQ时,AP=9-t,CQ=2t,
∴9-t=2t,
解得t=3秒,
此时点Q与点B重合,符合题意,
∴当运动时间为2秒或3秒时,直线PQ四边形截出四边形是一个平行四边形;
(2)△OPQ的面积平行四边形的面积的一半.
理由如下:如图1,过点O作OE∥AP,
则OE∥AP且OE=AP,
OE∥BQ且OE=BQ,
∴四边形AOEP与四边形OBQE都是平行四边形,
∴S△OPE=S平行四边形AOEP,
S△OQE=S平行四边形OBQE,
∴S△OPE+S△OQE=S平行四边形AOEP+S平行四边形OBQE=S平行四边形ABQP,
即S△OPQ=S平行四边形ABQP,
同理可证,图2中S△OPQ=S平行四边形PQCD.
解析分析:(1)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形可知,①AP=BQ,②PD=CQ时都可以是平行四边形,然后列式进行计算即可求解;
(2)根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形,过点O作AP的平行线即可得解.
点评:本题主要考查了梯形的性质,平行四边形的判定与性质,熟练掌握各中常见四边形的性质是解题的关键,本题需要注意分两种情况求解.