导函数不一定是连续函数?而且间断点只能是第二类?为什么?函数某点可导的充要条件不是左导数、右导数都存

网友回答

函数某点可导的充要条件不是左导数、右导数都存在且相等,这个没错,但是这个是说函数要连续,但是并不意味着导函数也要连续.函数可导只能推出连续,不可能推出导函数也连续.关于间断点首先我们讨论一下原函数的存在性：...
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
这句话的前提应该是导函数在某个区间上存在，然后再讨论导函数的连续性问题。而不是原函数的连续性问题。
正是因为导数存在，所以如果导函数f'(x)的间断点是第一类间断点，那么左右导数的极限就存在且不等，于是原函数f(x)不可导，与前提矛盾。所以只能是第二类间断点。
供参考答案2:
是导函数有间断点。具体的经典例子是f(x)=x^2 sin (1/x) （的导函数）在x=0的情形。
可以证明导函数满足中介值性质，是说如果f'(a)>0，f'(b)0，使得
(f(a+h)-f(a)) / h >0，也就是a点旁边的一段割线的斜率大于0，类似b点旁边一段割线的斜率小于0。那么a、b之间有一段割线的斜率等于0，也就是f(p+h)=f(p)，其中a
有中介值性质就不能有导函数在一点左右极限不相等的那种间断点。