如图,在△ABC中.∠B=60°,⊙0是△ABC的外接圆,过点A作AP=AC,AP与CO的延长线交于点P,CP交⊙0于点D.
(1)求证:PA为⊙0的切线;
(2)若AC=3,求△APC的面积.
网友回答
(1)证明:连接OA、AD,
∵∠B=60°,
∴∠ADC=∠B=60°,
∵CD为直径,
∴∠DAC=90°,
∴∠ACD=180°-60°-90°=30°,
∵AP=AC,OD=OA,
∴∠P=∠ACO=30°,∠OAD=∠ADC=60°,
∴∠PAD=∠ADC-∠P=30°,
∴∠OAP=60°+30°=90°,
即OA⊥AP,
∵OA为半径,
∴AP是⊙O的切线.
(2)
解:过A作AF⊥CP于F,
则∠AFC=90°,
∵AC=3,∠ACF=30°,
∴AF=AC=,由勾股定理得:CF=,
∵AP=AC,AF⊥CP,
∴CP=2CF=3,
∴△APC的面积是CP×AF=×3×=.
解析分析:(1)连接OA、AD,求出∠ADC,求出∠ACD=30°=∠P,求出∠OAD=∠ODA=60°,∠PAD=30°,即可得出OA⊥AP,根据切线判定推出即可;
(2)过A作AF⊥CP于F,求出AF,CF,根据等腰三角形性质求出CP,根据三角形面积公式求出即可.
点评:本题考查了切线的判定,等腰三角形性质和判定,三角形外角性质,圆周角定理,勾股定理,含30度角的直角三角形性质的应用,主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.