一道由递推公式及累加法的等比数列习题,如何把数列的分式结构的递推公式转化为通项公式

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由递推式求数列通项七例对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 类型1递推公式为 解法：把原递推公式转化为 ,利用累加法求解. 例1.已知数列 满足 ,求 . 由条件知： 分别令 ,代入上式得 个等式累加之,即 所以 又因为 所以 类型2递推公式为 解法：把原递推公式转化为 ,利用累乘法求解. 例2.已知数列 满足 ,求 . 由条件知 ,分别令 ,代入上式得 个等式累乘之,即 所以 又因为 ,所以 . 类型3递推公式为 （其中p,q均为常数, ）. 解法：把原递推公式转化为： 其中 ,再利用换元法转化为等比数列求解. 例3.已知数列 中, ,求 . 设递推公式 可以转化为 即 ,所以 故递推公式为 令 ,则 ,且 所以 是以 为首项,2为公比的等比数列,则 所以 类型4递推公式为 （其中p,q均为常数, ）. 解法：该类型较类型3要复杂一些.一般地,要先在原递推公式两边同除以 ,得： 引入辅助数列 （其中 ）,得： 再应用类型3的方法解决. 例4.已知数列 中, ,求 . 在 两边乘以 得： 令 ,则 应用例3解法得： 所以 类型5递推公式为 （其中p,q均为常数）. 解法：先把原递推公式转化为 其中s,t满足 ,再应用前面类型的方法求解. 例5.已知数列 中, ,求 . 由 可转化为 即 所以 解得： 或 这里不妨选用 （当然也可选用 ,大家可以试一试）,则 所以 是以首项为 ,公比为 的等比数列所以 应用类型1的方法,令 ,代入上式得 个等式累加之,即 又因为 ,所以 . 类型6递推公式为 与 的关系式. 解法：利用 进行求解. 例6.已知数列 前n项和 . （1）求 与 的关系；（2）求通项公式 . （1）由 得： 于是 所以 即 （2）应用类型4的方法,上式两边同乘以 得： 由 ,得： 于是数列 是以2为首项,2为公差的等差数列,所以 故 类型7双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解. 例7.已知数列 中, ；数列 中, .当 时, ,求 . 因 所以 即 又因为 所以 即 由、得：

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两者原则上应该是等价的，知道一个就可以确定另一个。但是实际操作往往不是这样。
　　知道通项公式求递推公式特简单。知道S[n]等于n的一个式子，然后我当然可以把式子里面所有n换成n-1就得到S[n-1]，S[n]是前n项和，S[n-1]是前n-1项和。那么a[n]就是S[n]-S[n-1]，直接就算出来了。
　　知道递推关系求通项不是很容易，有的相当难。我只说几种简单的。
　　①等差、等比数列，这些书上都有，自己看书就可以了。
　　②累加法，就是比等差数列稍微差一点的情况，a[n]-a[n-1]不是一个常数，而是n的一个式子，比如说就是n。这时候写成
　　a[n]-a[1]=(a[n]-a[n-1])+(a[n-1]-a[n-2])+(a[n-2]-...-a[2])+(a[2]-a[1])
　　=n+(n-1)+(n-2)+...+2=n(n+1)/2 -1
　　然后移向就得到a[n]=a[1]+n(n+1)/2 -1
　　③累乘法，与上面类似，和等比数列差一点，就是a[n]/a[n-1]是n的一个式子不是常数，这时候也可以仿照上面做法a[n]=a[n]/a[n-1]×a[n-1]/a[n-2]×...×a[2]/a[1]×a[1]然后做。
　　④待定系数法。这个也是和等比数列差一点，就是做了平移变换以后就是等比数列的情况。比如
　　a[n]=2a[n-1]+1，这个可以设一个系数λ，使得移动λ以后是等比数列，你看a[n]=2a[n-1]+1移动以后公比一定是2，于是设a[n]+λ=2(a[n-1]+λ)，打开括号移项得到a[n]=2a[n-1]+λ，比较原来的式子
　　a[n]=2a[n-1]+1得到λ=1，于是设新的数列b[n]=a[n]+1，于是b[n]是等比数列。
　　当然这种还可以转化，在a[n]=2a[n-1]+1两边除以2的n次方（写成2^n)得到
　　a[n]/2^n=a[n-1]/2^(n-1)+1/2^n让新的数列b[n]=a[n]/2^n就转化成了上面累加法那种情况。
　　难一点的还有特征方程法、不动点法（很少见，用于线性分式类型的递推关系，我也记不太清具体的了）。特征方程法网上有，可以看看。