递推数列公式及例题,递推数列的等比数列

网友回答

参见我对http://zhidao.baidu./question/85814449.html的回答：
　　题:数列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求An通项
　　引: 一般书上讲到特征(方程)根(值)法,发生函数(母函数,生成函数)法,差分方程法,大都只讲其然而不讲其所以然.其实,很容易理解的.
　　高中课程中,主要讲等差数列,等比数列;复杂的问题,也通过转化为这两者来解决.我们可以看到,其递推式:An=A(n-1)+d;An=qA(n-1),均是一阶递推关系(阶数:即式中未知项的下标差),其一般形为An+xA(n-1)+y=0.
　　可以通过简单的转化,求得An+xA(n-1)+y=0型递推关系的解,即求得通项An. 关于此，请见下文（&&&）
　　对于二阶递推式,可以转化为一阶关系来求解.这正与我们研究二次方程时将它转化为两个一次方程一样.正鉴于此,人们在此基础上进一步总结,最后脱离了转化过程,象下围棋的定式一般,总结到了方法,得到了公式,于是就有了特征根法,等等.
　　解:
　　构造等式:
　　A(n+2)-xA(n+1)-y(A(n+1)-xAn)=0(***)
　　即:A(n+2)-(x+y)A(n+1)+xyAn=0
　　与A(n+2)+A(n+1)-2An＝0比较可知:
　　x,y是方程zz+z-2=0的两根.
　　(***)式说明:A(n+2)-xA(n+1)是公比为y的等比数列;
　　于是
　　A(n+1)-xAn=函数f(n)=y^(n-1)(A2-xA1) (###1)
　　再构造f(n)=g(n+1)-xg(n) ,从而取An=g(n).
　　下面另做一个实例（
　　@）说明
　　另外,根据x,y的对称性, 可将(***)式等效转化为
　　A(n+2)-yA(n+1)-x(A(n+1)-yAn)=0(***)
　　也即:A(n+2)-yA(n+1)是公比为x的等比数列.
　　于是当x,y不等时,还可得到
　　A(n+1)-yAn=x^(n-1)(A2-yA1) (###2)
　　由###1,2两式可以方便地得到An.
　　在这里,我们可以总结出经验,
　　An形如ax^n+by^n,系数a,b除可由上面###1,2两式直接得到之外,
　　但我们既然已经知道了An形如ax^n+by^n
　　用初始两项A2=ax^2+by^2,A1=ax+by求得则更快.
　　这便是待定系数法了.
　　又例：
　　已知：xa(n)＝ya(n-1)＋z （*1）
　　问：如何构造出等比数列，从而求出通项a(n)
　　解：设xa(n)-u=v(xa(n-1)-u) （*2）
　　与xa(n)＝ya(n-1)＋z比较，得
　　vx＝y，u-uv＝z
　　解之得：v＝y/x，u＝z/(1-v)＝xz/(x-y)
　　拓展：
　　http://hi.baidu./wsktuuytyh/blog/item/f3ce1517f4f16c0ec83d6d7b.html

网友回答

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（mon ratio），公比通常用字母q表示。
　　等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
　　有关系：G^2=ab；G=±(ab)^(1/2)
　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。 通项公式
　　an=a1q^(n-1)
　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
　　求和公式
　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)
　　相关计算
　　1.等比数列:
　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
　　则an/am=q^(n-m)
　　(1)an=am*q^(n-m)
　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq
　　2.等比数列前n项和
　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列
　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an
　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
　　注: q不等于1;
　　Sn=na1 注:q=1
　　求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
　　性质：
　　①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；
　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 等比数列在生活中也是常常运用的。
　　如：银行有一种支付利息的方式---复利。
　　即把前一期的利息和本金价在一起算作本金，
　　再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
　　（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
　　（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
　　Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
　　=(a1-a1q^n)/(1-q)
　　=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
　　(前提：q不等于 1)
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1