解答题①已知函数f（x）=x2-2，g（x）=xlnx，（1）若对一切x∈（0，+∞）

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解：①（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，即2xlnx+x2-ax+3≥0在x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤2lnx+x+在x∈（0，+∞）恒成立，令F（x）=2lnx+x+，则F′（x）=，令F′（x）=0，则x=1，∴F（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴Fmin=F（1）=4，∴只需a≤4．（2）将原方程化为ln（1+x2）-x2+1=k，令G（x）=ln（1+x2）-x2+1，为偶函数，且G（0）=1，x＞0时G′（x）=∴G（x）max=+ln2且x→+∞，y→-∞，∴k＞+ln2时，无解；k=+ln2或k=1时，三解；1＜k＜+ln2，四解；k＜1时，两解．②证明：设g（x）=x2f（x），则令g'（x）=x[2f（x）+xf'（x）]=0得x=0当x＜0，g'（x）＜0，∴函数g（x）单调递减；当x＞0，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增∴g（x）min=g（0）=0∴g（x）≥0∵f′（x）为f（x）的导函数，对任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x2，∴f（x）=0不成立∴f（x）＞0．解析分析：①（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，将g（x）代入化简得2xlnx+x2-ax+3≥0解出a要小于函数的最小值，利用导数讨论函数的增减性得到函数的最小值即可；（2）将f（x）代入到方程中化简得k等于一个函数，求出函数的导函数=0时的x值，然后讨论函数的增减性得到函数的最大值，然后讨论k的范围决定方程解的个数；②设g（x）=x2f（x），求导函数，确定函数的单调性，从而可得g（x）≥0，进而可得结论．点评：本题考查学生利用导数求函数极值的能力，理解函数恒成立条件的能力，以及函数与方程的综合运用能力，考查不等式的证明，属于中档题．