设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8.其导函数y=f′.(.0).如图所示.的解

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解：(Ⅰ)∵f′(x)=3ax2+2bx+c,且y=f′(x)的图像经过点(-2,0),(,0),

∴ 

∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,由图像可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减, 

∴f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1 

∴f(x)=-x3-2x2+4x 

(Ⅱ)要使对x∈[-3,3]都有f(x))m2-14m恒成立,只需f(x)min≥m2-14m即可. 

由(Ⅰ)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上单调递减,在(-2,)上单调递增,在(,3)上单调递减,且f(-2)=-8,f(3)=-33-2× 32+4×3=-33＜-8,∴f(x)min=f(3)=-33 

-33≥m2-14m3≤m≤11故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.