怎么证明调和级数是发散的我们老师用的是1/(n+n)+1/(n+n)+.1/(n+n)=1/2显然不等于0,推出调和级数是发散的.请问大家,这里是怎么推出的,没听明白,请认真解答.
网友回答
方法一,直接从这个结果出发：
S2n-Sn>=1/2对于任意n成立
则把n变成2n
S4n-S2n>=1/2成立
以次类推S8n-S4n>=1/2S 下标2^k n -S下标2^(k-1)n >=1/2把这些统统相加
S 下标2^k n >=k/2再令k->无穷,即2^k n->无穷,则S无穷=无穷
方法二,利用极限收敛定义：
若一个数列极限存在,则其必为柯西数列
柯西数列An表示对于任意m>n有|Am-An|->0,当m,n->无穷此处显然永远有m=2n时,|Sm-Sn|>=1/2与Cauchy数列定义矛盾,所以发散