发布时间：2019-07-29 17:34:19
二重极限中的路径极限问题比较复杂，没有一种统一的处理方式。以你的例子说，当然用x=0，y=0来证明其极限不存在是可行的。不同的路径得出不同的极限，就是二重极限不存在的最好证明。
下面的例子又有不同。
可见用x=0，y=0得到的极限相同，但不能由此断定极限就为0。再用直线y=kx得到的极限仍然为0，但能判定其极限为0吗？显然不可以。再用抛物线y=x²，得，极限为1/2，不为0。
这就是二重极限的复杂性。
路径的选取又有何种约束？说实话，还真找不到这种约束，只能分析其函数表达式的特点，以选取合适的路径。
如第一个，x， y都是一次的，那么选择直线比较好；第二个，x、y及乘积项为三次、四次的，那么选择抛物线比较好。
一般情况下，选择x轴即y=0，y轴即x=0，直线y=kx，抛物线y=x²，比较多一些。此外，还有通过变量替换的，如设x=ρcosθ，y=ρsinθ，则当（x，y）→（0，0）时，有ρ→0，这种情况比较适用于包含二次项的函数式。
你问的这个问题涉及数学推理的逻辑性问题：
对于数学证明题应该明白一点：
要证明一个命题的正确性你必须证明对于符合条件的任何情况下命题都正确
要说明一个命题不正确，你只要举出一个反例即可
二重极限的存在性不能用选取不同的路径的方法来证明，因为点P（x,y)趋于点M（a,b）时函数f(x,y)二重极限A的存在性,按定义应该是P，M的距离趋于0时 f（x,y）-A趋于0，即点P以任意方式（不一定是曲线路径啊）趋于点M时都有【f(x,y)-A】的绝对值都趋于0，这个任意方式有无穷多种，所以你选取任何P趋于M的路径无论直线段或曲线弧，不管你选了多少条特殊的路径那都只是特殊的趋近方式，包括不了P趋于M的所有的方式，所以都不符合极限存在的的定义，所以要证明二重极限的存在性，不能用选取特殊路径的方法只能按定义作，或按极限的运算法则（这是经过严格证明的）计算出来
而证明二重极限不存在只要证明P趋于M 有一种方式使得极限不存在就能说明二重极限是不存在的
这就是说要证明一个命题不成立只要举出一个反例即可
所以通常证明二重极限不存在只要适当选取一条P趋于M路径，比如沿直线y=2x,或者一条曲线，比如y=x²,说明极限不存在就可以，或者 选取一条 斜率为K的直线 y=kx ，证明P沿着这条直线趋于M时极限跟斜率k有关，就能说明二重极限不存在（因为二重极限如果存在必定唯一）
当然如果已知二重极限是存在的，叫你求极限，那么任选一个路径得到的极限都应当相等，那当然尽量选取最简单的路径啦