设f（x）=sinx，g（x）=arcsinx，求求f[g（x）]吧！

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f[g(x)]=f(arcsinx)=sin(arcsinx)=x

解：  f[g(x)]=sin(gx)

                  =sin(arcsonx)

                  =x  

这是根据Sin的定义来的：

对于一个角度β

如果x=Sinβ，则β=arcsin(x)

故：Sin(arcsin(x))=Sinβ=x

既然Sinβ=x，也即是x的值域即是Sinβ的值域，也即是[-1,1]；

所以：

f[g(x)]=f(arcsin(x))=Sin(arcsin(x))=x

反函数的性质     自变量  对应反函数的  因变量

 因变量  对应反函数的   自变量

据题设→y=f(x)，x∈(﹣∞,∞),y∈[﹣1,1];z=g(x),x∈[﹣1,1],z∈[-π/2,π/2]

→y=f(z)=sin(arcsinx)=x。于此y,x均为正弦函数的振幅，z是弧度！

如果f(x)=sinx，定义域区间[-π/2,π/2]，值域区间[-1,1]。

g(x)=arcsinx，定义域区间[-1,1]，值域[-π/2,π/2]。

那么函数f(x)与函数g(x)是反函数。

设y=arcsinx，则x=siny。

∴f[g(x)]=f(arcsinx)=f(y)=siny=x。

如果x不在区间[-1,1]，g(x)无意义。