试题难度：难度：中档 试题类型：解答题 试题内容：（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=10和e2=01．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为x=2sinθy=cosθ(θ为参数），C2的参数方程为x=2ty=t+1(t为参数）
（I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=1f(x)+m的定义域为R，求实数m的取值范围．
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试题答案：（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换（I）设A=（abcd），由Ai=λ1i，Aj=λ2j得：abcd10=210=20，abcd01=-1×01=0-1，∴a=2c=0b=0d=-1，故A=200-1…4分（II）设曲线x2+y2=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），则200-1xy=x′y′，即x′=2xy′=-y，∴x=12x′y=-y′，从而(12x′)2+（-y′）2=1，即x′24+y′2=1，∴新曲线方程为x24+y2=1…7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程∵（Ⅰ）C1：x=2sinθy=cosθ(θ为参数），C2：x=2ty=t+1(t为参数，∴C1的普通方程为x2+y2=1，C2的普通方程为y=x-1…4分（Ⅱ）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=-x，在极坐标系中，直线化为tanθ=1，方程为θ=π4或θ=3π4…7分（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）x＜124-4x≤5或12≤x≤322≤5或x＞324x-4≤5，∴不等式的解集为x∈[-14，94]…4分（Ⅱ）若g（x）=1f(x)+m的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，∴f（x）的最小值为2，∴m＜-2…7分．