试题难度：难度：偏易 试题类型：单选题 试题内容：已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（ ）A．(98，54)B．(1，2524)C．(1，98)D．(1，54)
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试题答案：当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（2分）则当a∈（2，3]时，由f（x）=x2+(2-a)x，x≥a-x2+(2+a)x，x＜a，得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x，对称轴x=a-22＜a，则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a时，f（x）=-x2+（2+a）x，对称轴x=a+22＜a，则f（x）在x∈（-∞，a+22]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，(a+2)24]，f（x）在x∈[a+22，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，(a+2)24]；由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则2ta∈（2a，(a+2)24），即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，(a+2)28a）即可，令g（a）=(a+2)28a=18（a+4a+4），只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函数，∴（g（a））max=g（3）=2524，故实数t的取值范围为（1，2524）；…（15分）同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1，2524）；综上所述，实数t的取值范围为（1，2524）．…（17分）故选B．