设f(x)在（a,b）上可导，且f'(x)在(a,b)上有界，求证f(x)在（a,b）上有界

推荐回答

f'(x)在(a,b)上有界 ==》存在 M>0 使得 |f'(x)| <M 对 任意 (a,b)中的x都成立。设 c = (a+b)/2, 则 |f(x)| < (b-a)*M + |f(c)|对(a,b)中的x都成立。对 任意 (a,b)中的x， 如果 x=c, 上式显然成里。否则，在 c 与 x 之间存在 d 使得：f'(d)=(f(x)-f(c))/(x-c) ==》 f(x)=f(c)+f'(d)(x-c)==> |f(x)| <=|f(c)| + M*|x-c|<(b-a)*M + |f(c)| 于是 f(x)在（a,b）上有界