证明:n∣a^2k+1+（n-a）^2k+1(n,a,k∈N*)

其他回答

a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)

=[a+（n-a）][a^(2k)-a^(2k-1)*（n-a）+…-a*（n-a）^(2k-1)+（n-a）^(2k)]

=n[a^(2k)-a^(2k-1)*（n-a）+…-a*（n-a）^(2k-1)+（n-a）^(2k)]

故：n∣a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)(n,a,k∈N*)

也可以用归纳法证明

k=1,2时，均成立

假设k=p时，a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)=a^(2p+1)+（n-a）^(2p+1)=qn      q∈N*

当k=p+1时，a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)

=a^(2p+3)+（n-a）^(2p+3)

=a²×a^(2p+1)+（n-a）²×（n-a）^(2p+1)

=a²×a^(2p+1)+（n²-2na+a²）×（n-a）^(2p+1)

=a²×[a^(2p+1)+（n-a）^(2p+1)]+n(n-2a)×（n-a）^(2p+1)

=pn+n(n-2a)×（n-a）^(2p+1)

=n[p+(n-2a)×（n-a）^(2p+1)]

能被n整除

故：n∣a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)(n,a,k∈N*)

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用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3•5•…•（2n-1）时，从k变到k+1时，左边应增添的因式是（ ）

A．2k+1

B．2（2k+1）

分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，比较两个表达式，即得所求．【解析】当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是 =2（2k+1），故选b．