如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，点F是DG的中点，连结EF与CF．（1）求证：EF=CF；（2）

网友回答

（1）证明：∵∠BEG=90°，点F是DG的中点，
∴EF=DF=DG，
∵正方形ABCD中，∠BCD=90°，点F是DG的中点，
∴CF=DF=DG，
∴EF=CF；

（2）证明：∵EF=DF，CF=DF，
∴∠FDE=∠FED，∠FCD=∠FDC，
∴∠EFC=∠EFG+∠CFG=∠FDE+∠FED+∠FCD+∠FDC=2∠FDE+2∠FDC=2∠BDC，
在正方形ABCD中，∠BDC=45°，
∴∠EFC=2×45°=90°，
∴EF⊥CF；

（3）解：△CEF是等腰直角三角形．
理由如下：如图，延长EF交CD于H，
∵∠BEG=90°，∠BCD=90°，
∴∠BEF=∠BCD，
∴EG∥CD，
∴∠EGF=∠HDF，
∵点F是DG的中点，
∴DF=GF，
在△EFG和△HFD中，
，
∴△EFG≌△HFD（ASA），
∴EG=DH，EF=FH，
∵BE=EG，BC=CD，
∴BC-EB=CD-DH，
即CE=CH，
∴EF⊥CF（等腰三角形三线合一），CF=EF=EH，
∴△CEF是等腰直角三角形．
解析分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=DF=DG，CF=DF=DG，从而得证；
（2）根据等边对等角可得∠FDE=∠FED，∠FCD=∠FDC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFC=2∠BDC，然后根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BDC=45°，求出∠EFC=90°，从而得证；
（3）延长EF交CD于H，先求出EG∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EGF=∠HDF，然后利用“角边角”证明△EFG和△HFD全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=DH，EF=FH，再求出CE=CH，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定，熟记各性质是解题的关键，（3）作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．