已知椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0交AB两点,|AB|=2分之根号2,AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率为2分之根号2,求椭圆方程.
网友回答
联立椭圆与直线方程:
{x+y=1
{ax^2+by^2=1
可得到:(a+b)x^2-2bx+b-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n)
{x1+x2=2b/(a+b)
{x1x2=(b-1)/(a+b)
∴m=b/(a+b)
n=-m+1=a/(a+b)
∵kOM=√2/2
∴a/b=√2/2.①
又|AB|^2=8
即:2[(x1+x2)^2-4x1x2]=8
∴a^2+b^2+3ab-a-b=0.②
联立①②：解得:{a=1/3
{b=√2/3
∴椭圆的方程:x^2+√2y^2=3