如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．（1）求证：AD平分∠CDE；（2）是否存在直线AB

网友回答

（1）证明：对于y=x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=-b，
∴A点坐标为（-b，0），B点坐标为（0，b），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AD平分∠CDE；

（2）解：存在直线AB，使得OBCD为平行四边形．利用如下：
若四边形OBCD为平行四边形时，则AO=AC，OB=CD，
由（1）知AO=BO，AC=CD
∴OC=2OB=-2b，DC=-b，
∴D点坐标为（-2b，-b），
把D（-2b，-b）代入y=得-2b?（-b）=2，解得b=1或b=-1，
∵b＜0，
∴b=-1，
∴存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．
解析分析：（1）先用b表示出A点坐标为（-b，0），B点坐标为（0，b），则OA=OB，得到△OAB为等腰直角三角形，得到∠OAB=45°，则∠DAC=∠OAB=45°，而DC⊥x轴，DE⊥y轴，易得∠ACD=∠CDE=90°，∠ADC=45°，即可得到结论；
（2）若四边形OBCD为平行四边形时，根据平行四边形的性质得到AO=AC，OB=CD，而AO=BO，AC=CD，则有OC=2OB=-2b，DC=-b，得到D点坐标为（-2b，-b），然后把D点坐标（-2b，b）代入y=得-2b?（-b）=2，解得b=1（舍去），b=-1，所以满足条件的直线的解析式为y=x-1．

点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式；熟练掌握等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质与判定．