四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n.(1)当AC⊥BD时(如图1),请证明,四边形ABCD的面积;(2)当AC、BD所夹的锐角为θ时(如图2),猜想四边

发布时间:2020-08-06 13:26:38

四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n.
(1)当AC⊥BD时(如图1),请证明,四边形ABCD的面积;
(2)当AC、BD所夹的锐角为θ时(如图2),猜想四边形ABCD的面积S与m、n、θ的关系,并证明.

网友回答

(1)证明:如图1,AC与BD的垂足为O点,
∵AC⊥BD,
∴S△ABD=AO?BD,S△CBD=CO?BD,
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△CBD=AO?BD+CO?BD=BD?(AO+CO)=BD?AC=mn;

(2)解:作AH⊥BD于H点,CP⊥BD于P点,AC与BD交于E点,如图2,
在RtAEH中,sinθ=,即AH=AE?sinθ,
在RtCPE中,sin∠PEC=,PC=CE?sin∠PEC=CE?sinθ,
∵S△ABD=AH?BD,S△CBD=CP?BD,
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=AH?BD+CP?BD=AE?sinθ?BD+CE?sinθ?BD=BD?(AE+CE)?sinθ=BD?AC?sinθ=m?n?sinθ.
解析分析:(1)根据三角形面积公式得到S△ABD=AO?BD,S△CBD=CO?BD,然后把两个三角形面积相加即可得到结论;
(2)作AH⊥BD于H点,CP⊥BD于P点,AC与BD交于E点,根据正弦的定义得到AH=AE?sinθ,PC=CE?sin∠PEC=CE?sinθ,然后再根据三角形面积公式得到S△ABD=AH?BD,S△CBD=CP?BD,再把两个三角形面积相加即可得到四边形ABCD的面积S=m?n?sinθ.

点评:本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了三角形面积公式.
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