如图，在直角△ABC中，∠C=90°、AB=6、AC=3，⊙O与边AB相切于点D、与边AC交于点E，连接DE，若DE∥BC，AE=2EC，则⊙O的半径是_______

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解析分析：连接OD，OE，由AC的长，及AE=2EC，求出AE及EC的长，在直角三角形ABC中，由AC及AB的长，利用勾股定理求出BC的长，再由ED平行于BC，得到两对同位角相等，根据两对对应角相等的三角形相似可得出三角形AED与三角形ACB相似，由相似得比例，将AE，AC及BC的长代入求出DE的长，在直角三角形AED中，根据锐角三角函数定义求出tan∠ADE的值，利用特殊角的三角函数值得出∠ADE的度数，根据AB为圆O的切线，由切线的性质得到OD与AB垂直，进而得到∠ADE与∠EDO互余，由∠ADE的度数求出∠EDO的度数为60°，再由半径OE=OD，可得出三角形OED为等边三角形，根据等边三角形的性质得到圆的半径与ED的长相等，由ED的长可得出圆O的半径．

解答：连接OD，OE，如图所示：

∵AC=3，AE=2EC，
∴AE=2，EC=1，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=3，
根据勾股定理得：BC==3，
∵ED∥BC，∠C=90°，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，
∴△AED∽△ACB，
∴===，∠AED=90°，
又∵BC=3，
∴ED=2，
在Rt△AED中，tan∠ADE===，
∴∠ADE=30°，又∠ADO=90°，
∴∠EDO=60°，又OE=OD，
∴△OED为等边三角形，
则圆的半径OE=ED=2．
故