证明任意一个自然数的5次方的个位数等于此数的个位数请用理论证明1到9也成立

网友回答

证明任意一个自然数的5次方的个位数等于此数的个位数.
证明：求一个自然数的5次方后的个位数,实际上是求该自然数的个位数的5次方后的个位数.与其它的数无关.而个位数的取值是从0到9,不妨设该自然数的个位数是n,本题转换为：证明n^5个位数是n,等价于证明：n^5-n能被10整除.（因为个位数相同的两个数之差的个位数必定是0,所以能被10整除.）
要证n^5-n能被10整除,10=2×5,所以只需证明n^5-n能分别被2、5整除即可.
n^5-n=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
可以看出,n-1、n、n+1是三个连续自然数,三者之中必有偶数,所以n^5-n能被2整除.现只需证n^5-n能被5整除.
情形一：当n取0、1时,很明显,n^5与n的个位数相同.
情形二：如果n-1、n、n+1这三个连续自然数有一个是5的倍数,那么命题成立；
情形三：如果n-1、n、n+1这三个连续自然数都不是5的倍数,因n的取值是从2到9,三个连续自然数都不是5的倍数的组合只有：123、234、678、789四种.此时n是2、3、7、8,n^2+1分别是：5、10、50、65,都是5的倍数.
综上,n^5-n能被2和5整除,所以原命题成立.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
比较蠢的办法，从1到9依次证明
然后说明，一个数5次方的个位数字只有他个位数字的5次方有关
理论？这种数论的东西用理论太难证了，我现在高中你要我证我也证不出来