定义在(-1,1)的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=;②当0<x<1时,f(x)>0.回答下列问题.(1)判断函数f(x)的奇偶

发布时间:2020-08-08 04:15:58

定义在(-1,1)的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=;②当0<x<1时,f(x)>0.回答下列问题.
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并说明理由;
(3)若,试求的值.

网友回答

解:(1)函数定义域为(-1,1).令x=y=0得f(0)=0,
令y=-x,则有f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)在区间(-1,1)上是奇函数.
(2)设-1<x1<x2<1,

而x2-x1>0,|x1||x2|<1
∴1-x1x2>0
∴,
又因为1-x2>0,1+x1>0
∴(1-x2)(1+x1)=1-x1x2-x2+x1>0,即
∴,
所以.即当x1<x2时,f(x1)<f(x2),
∴f(x)在区间(-1,1)上是单调递增函数.
(3)由于即
∵即
∵即
又∵


解析分析:(1)判断函数f(x)的奇偶性:①判断函数定义域是否关于原点对称,②判断f(-x)与f(x)的关系.
(2)证明函数f(x)的单调性,利用定义,分五步①设元,②作差,③变形,④判号,⑤下结论.
(3)利用题中所给的等式,把要求的已知的相结合,逐步求出要求的值.

点评:本题考查了抽象函数的奇偶性,单调性,与具体函数的证明方法相同,做题一定要抓牢定义,特别是证明题,一切方法源根本.
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