如图1、四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E，
（1）求OE的长；
（2）求过O、D、C三点抛物线的解析式；
（3）如图2过D做矩形DFGH，FG在x轴上，H在（2）中的抛物线上，求矩形DFGH的面积S是多少？
网友回答
解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
在△CDE和△AOE中，
，
∴△CDE≌△AOE（AAS）．
∴OE=DE．
∴OE2+OA2=（AD-DE）2，
即OE2+42=（8-OE）2，
解之，得OE=3．
（2）由（1）得出：EC=8-3=5．
如图1，过D作DG⊥EC于G，
∵∠DGE=∠CDE，∠DEG=∠CED，
∴△DGE∽△CDE．
∴=，
∴DG=，EG=．
∴D（，）．
因为O点为坐标原点，
故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴，
解之，得，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x；
（3）∵C点坐标为：（8，0），
∴对称轴为：直线x=4，
∵D（，），
∴H点与D点关于直线x=4对称，
∴H点坐标为；（，），
∴HD=-=，
∴矩形DFGH的面积S为：DF×DH=×=．
解析分析：（1）已知四边形OABC是矩形，证明△CDE≌△AOE推出OE2+OA2=（AD-DE）2求出OE．
（2）本题要借助辅助线的帮助，证明∴△DGE∽△CDE，根据线段比求出DG，EG以及点D的坐标，列出解析式求出a，b的值．
（3）根据C点坐标得出抛物线的对称轴，再利用D点坐标得出H点坐标，进而得出DH，DF的长即可得出