在△ABC的边BC，CA，AB上取点A1，B1，C1，线段A1B1，B1C1，C1A1将△ABC分成四个面积相等的三角形．求证：A1，B1，C1是△ABC三边的中点．

网友回答

解：如图，给各边取名后，a=a1+a2；b=b1+b2；c=c1+c2
（1）的面积=b2?c1?sinA=bcsinA=△ABC的面积
故：b2?c1=bc
类似地可以得到：c2?a1=ca和a2?b1=ab
将上述结果转换代入下式：
1=（a1+a2）?=，
整理得=2，
类似地可以得到：=2和=2，
将上述三式相加：得++=6，
有均值不等式可知
得++≥6，
即大于等于6，当且仅当A1，B1，C1是△ABC三边的中点时取等号，
由于本题中恰好取得最小值6，故：A1，B1，C1是△ABC三边的中点．
命题得证．
解析分析：依题意画出图形，用正弦定理求出各个三角形的面积，外边三者面积相加，利用均值不等式进行证明．

点评：考查了利用正弦定理计算三角形面积的能力．熟练应用均值不等式是解题的关键．