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11.求y'-2y=x的通解
先求齐次方程y'-2y=0的通解.
y'=2y,分离变量得dy/y=2dx,积分之得lny=2x+lnC；即y=e^(2x+lnC)=Ce^(2x)；
将积分常数换成x的函数u,(参数变易法)得y=ue^(2x).(1)
将(1)的两边对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(2x)+2ue^(2x).(2)
将(1)和(2)一起代入原方程得(du/dx)e^(2x)+2ue^(2x)-2ue^(2x)=x
化简得(du/dx)e^(2x)=x,分离变量得du=xe^(-2x)dx；
积分之得u=∫xe^(-2x)dx=-(1/2)∫xd[e^(-2x)]=-(1/2)[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)e^(-2x)]+C
=-(1/2)(x+1/2)e^(-2x)+C
代入(1)式得y=[-(1/2)(x+1/2)e^(-2x)+C]e^(2x)=-(1/2)(x+1/2)+Ce^(2x).
故原方程的通解为y=Ce^(2x)-(1/2)x-1/4.
6.求定