如图，已知直线y=x，与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，且A点的横坐标为4．（1）求k的值及B点的坐标；（2）若双曲线y=（k＞0）上一点C的纵坐标为2，求△AO

网友回答

解：（1）把x=4代入y=x得y=1，
∴A点坐标为（4，1），
把A（4，1）代入y=得k=4×1=4，
∵直线y=x与双曲线y=的交点关于原点对称，
∴B点坐标为（-4，-1）；

（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，
把x=2代入y=得y=2，
∴C点坐标为（2，2），
∴S△OCD=S△OAE=×4=2，
∵S△OCD+S梯形CDEA=S△OAE+S△AOC，
∴S△AOC=（1+2）（4-2）=3；

（3）∵C（2，2）
∴OC=2，
当OC=OP时，△OCP是等腰三角形，即P点落在P1或P2的位置，此时P点坐标为（-2，0）或（2，0）；
当CO=CP时，△OCP是等腰三角形，即P点落在E点的位置，此时P点坐标为（4，0）；
当PO=PC时，△OCP是等腰三角形，即P点落在D点的位置，此时P点坐标为（2，0），
∴满足条件的P点坐标为（，0）、（-，0）、（4，O）、（2，0）．
解析分析：（1）由于A点的横坐标为4，所以把x=4代入y=x得y=1，得到A点坐标为（4，1），再把A点坐标代入?反比例函数解析式可求出k的值；然后利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称确定B点坐标；
（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，先确定C点坐标为（2，2），根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△OCD=S△OAE=×4=2，再利用S△OCD+S梯形CDEA=S△OAE+S△AOC，得到S△AOC=S梯形CDEA，然后根据梯形的面积公式进行计算；
（3）分类讨论：当OC=OP时，△OCP是等腰三角形，即P点落在P1或P2的位置；当CO=CP时，△OCP是等腰三角形，即P点落在E点的位置；当PO=PC时，△OCP是等腰三角形，即P点落在D点的位置，然后根据x轴上点的坐标特征写出满足条件的P点坐标．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和等腰三角形的判定与性质．