如图，Rt△AEO和Rt△BFO关于直线y=-x成轴对称，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，2）和B两点．（1）写出B点坐标；（2）分别求出以a为自变量

网友回答

解：（1）∵Rt△AEO和Rt△BFO关于直线y=-x成轴对称，
∴A，B关于直线y=-x成轴对称，
∴AE=BF，OE=OF，
∵A点坐标为：（1，2），
∴B点坐标为：（-2，-1）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，2）和B两点．
∴将A，B两点代入得：
，
∵4a-2b+c-（a+b+c）=-1，
∴b=a+1，
将b=a+1，代入a+b+c=0得，
∴c=1-2a；

（3）设AB与y轴交于D点，
∴CD=2a，或-2a．
∴×CD×2+×CD×1=3，
?解得：a=1或-1，
∴b=2，c=-1，或b=0，c=3，
∴y=x2+2x-1=（x+1）2-2或y=-x2+3，
∴二次函数的顶点坐标为：顶点M（-1，-2）或（0，3）；

（4）∵y=ax2+bx+c
=ax2+（a+1）x+（1-2a），
将（x0，x20+1）代入方程得，
∴x20+1=ax02+（a+1）x0+（1-2a），
∴（a-1）x02+（a+1）x0-2a=0，
△=（3a-1）2＞0，若对任意非零实数a都不经过P（x0，x20+1）
则a=0时x0=0，1，
∴P（0，1），P（1，2）（舍去）；
∴直线AP解析式为：y=x+1．
解析分析：（1）根据A，B关于直线y=-x成轴对称，由A点坐标即可得出B点坐标；
（2）利用抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，2）和B两点．将A，B两点代入求出a为自变量的b的函数关系式和c的函数关系式即可；
（3）设AB与y轴交于D点，得出CD=2a，或-2a，利用三角形面积求法得出×CD×2+×CD×1=3，即可求出a的值；
（4）由y=ax2+bx+c=ax2+（a+1）x+（1-2a），再将（x0，x20+1）代入求出即可得出方程根的情况，进而得出P点坐标，求出解析式即可．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及点关于直线对称的性质以及二次函数顶点坐标求法等知识，利用图形进行分得出是解题关键，数形结合是这部分考查的重点，同学们应重点掌握．