发布时间：2021-02-17 23:09:44
如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的射影．
(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的射影为底面的棱锥的体积；
(2)求证：直线FG1⊥平面FEE1；
(3)求异面直线E1G1与EA所成的角的正弦值．
(1)解：根据题意可知，所求体积即为四棱锥E－FG1DE1的体积．因为点E1，G1分别为棱CC1，DD1的中点，所以＝22－×2×1－2××1×1＝2．又因为点E到平面DCC1D1的距离为EE1＝1，故＝×2×1＝． (2)证明：在正方形DCC1D1中，FG1＝FE1＝，G1E1＝2，FG12＋FE12＝G1E12，故FG1⊥FE1．又EE1⊥平面DCC1D1，FG1平面DCC1D1，所以EE1⊥FG1因为FE1∩EE1＝E1，所以FG1⊥平面FEE1． (3)解：因为E1G1∥CD，AB∥CD，所以E1G1∥AB，所以∠EAB即为异面直线E1G1与EA所成的角．因为AB⊥平面BCC1B1，BE平面BCC1B1，所以AB⊥BE．在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝，AE＝，所以sin∠EAB＝＝＝．所以异面直线E1G1与EA所成角的正弦值为． |