在台球桌矩形，ABCD上，放有两个球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打击球P使它撞在AB的M点反弹后撞到球Q，其路线记为P→M→Q；如果打击球?Q，使它撞在A

网友回答

证明：如图，台球P撞AB于M反弹打到Q，满足∠PMB=∠QMA，即对P的路线是作P关于BA的对称点P1，连接P1Q交?BA于?M点，则P→M→Q为球P的路线，
再作Q关于AD的对称点Q1连接PQ1交AD于N点，则Q→N→P为球Q的路线，
由对称性，知P1A=PA，Q1A=QA，
∠3=∠1=∠2=∠4，
PM+MQ=P1M+MQ=P1Q，
QN+NP=Q1N+NP=Q1P．
因此，要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等，即证明PM+MQ=QN+NP，也就是要证P1Q=Q1P，
∵∠P1AQ=∠3+∠BAQ=∠2+∠BAQ=90°，
∠PAQ1=∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°，
∴∠P1AQ=∠PAQ1，
在△P1AQ和△PAQ1中，，
∴△P1AQ≌△PAQ1（SAS），
∴P1Q=Q1P，
所以P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．
解析分析：作点P关于AB的对称点P1，连接P1Q交AB于点M，连接PM，作点Q关于AD的对称点Q1，连接PQ1交AD于点N，连接QN，根据轴对称性可知，要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等，即证明PM+MQ=QN+NP，也就是要证P1Q=Q1P，由对称性可得P1A=PA，Q1A=QA，再证明∠P1AQ=∠PAQ1，然后利用“边角边”证明△P1AQ和△PAQ1全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．

点评：本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质作点P、Q的对称点，找出表示两条路线的长度的线段是解题的关键．