设函数f（x）=x+，其中常数λ＞0．（1）判断函数的奇偶性；（2）若λ=1，判断f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；（3）若f（x）在区间[1，

网友回答

解：（1）由于函数f（x）=x+，其中常数λ＞0，故函数的定义域为R，
且f（-x）=-x+=-f（x），故函数为奇函数．?
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
证明：任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）+=（x1-x2）?，
由1≤x1＜x2，可得 x1-x2 ＜0，x1?x2，＞1，∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…
（3）任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=）=（x1-x2）+λ?=（x1-x2）?，
且函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调递增．∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴x1?x2-λ＞0 对1≤x1＜x2 恒成立，∴λ＜x1?x2，再由1＜x1?x2，可得0＜λ≤1．…
解析分析：（1）函数的定义域为R，且f（-x）=-x+=-f（x），可得函数为奇函数．
（2）任取1≤x1＜x2，计算f（x1）-f（x2）=（x1-x2）?＜0，可得 f（x1）＜f（x2），从而得到函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
（3）任取1≤x1＜x2，根据f（x1）-f（x2）=（x1-x2）?，且函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调递增，可得f（x1）-f（x2）＜0，
即? λ＜x1?x2? 对1≤x1＜x2 恒成立．再由1＜x1?x2，可得λ的范围．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．