如图,在△ABC中AB=AC=6cm,BC=8cm.点E是线段BC边上的一动点(不含B、C两端点),连结AE,作∠AED=∠B,交线段AB于点D.(1)求证:△BDE

发布时间:2020-08-05 11:26:31

如图,在△ABC中AB=AC=6cm,BC=8cm.点E是线段BC边上的一动点(不含B、C两端点),连结AE,作∠AED=∠B,交线段AB于点D.
(1)求证:△BDE∽△CEA;
(2)设BE=x,AD=y,请写y与x之间的函数关系式,并求y的最小值.
(3)E点在运动的过程中,△ADE能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由.

网友回答

(1)证明:∵∠BDE=180°-∠DEB-∠B,∠CEA=180°-∠DEB-∠AED,
又∠B=∠AED,
∴∠BDE=∠CEA,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴△BDE∽△CEA;

(2)解:∵△BDE∽△CEA,
∴,
即,
∴=(0<x<8),
∴当x=4,y有最小值是;

(3)解:∵∠ADE是△BDE的外角,
∴∠ADE>∠B,
∵∠B=∠AED,
∴∠ADE>∠AED,
∴AE≠AD.
①当AE=DE时,
得△BDE≌△CEA,
∴BE=AC=6cm;
②当DA=DE时,∠BAE=∠AED=∠C,
又∵∠B=∠B,
∴△BAE∽△BCA,
∴,
即:,
∴,
∴△ADE为等腰三角形时,.

解析分析:(1)根据∠BDE=∠CEA,∠B=∠C证得结论;
(2)利用(1)中相似三角形的对应边成比例列出比例式,则把相关线段的长度代入即可列出y与x的关系式.注意自变量x的取值范围要注明;
(3)根据三角形外角性质和三角形的边角关系知AE≠AD.所以当△ADE是等腰三角形时,分两种情况:①当AE=DE时,△BDE≌△CEA;②当DA=DE时,△BAE∽△BCA.所以根据全等三角形和相似三角形的性质来求线段BE的长度.

点评:本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质,二次函数的最值等知识点.解答(3)题时,要分类讨论,以防漏解.
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