如图,抛物线y=mx2+2mx-3m(m≠0)的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧),点H、B关于直线l:对称,过点B作直线BK∥AH交直线l于K点.(1

发布时间:2020-08-09 13:00:12

如图,抛物线y=mx2+2mx-3m(m≠0)的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧),点H、B关于直线l:对称,过点B作直线BK∥AH交直线l于K点.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)将此抛物线向上平移,当抛物线经过K点时,设顶点为N,直接写出NK的长.

网友回答

解:(1)令y=0,则mx2+2mx-3m=0(m≠0),
解得x1=-3,x2=1,
∵B点在A点右侧,
∴A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),

证明:∵直线l:y=x+,
当x=-3时,y=×(-3)+=-+=0,
∴点A在直线l上;

(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=x+对称,
∴AH=AB=4,
设直线l与x轴的夹角为α,则tanα=,
所以,∠α=30°,
∴∠HAB=60°,
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,
则AC=AB=2,HC==2,
∴顶点H(-1,2),
代入抛物线解析式,得m×(-1)2+2m×(-1)-3m=2,
解得m=-,
所以,抛物线解析式为y=-x2-x+;

(3)∵过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,
∴直线BK的k=tan60°=,
设直线BK的解析式为y=x+b,
∵B点坐标为(1,0),
∴+b=0,
解得b=-,
∴直线BK的解析式为y=x-,
联立,
解得,
∴点K的坐标为(3,2),
当x=3时,y=-×32-×3+=-6,
∴平移后与点K重合的点的坐标为(3,-6),
平移距离为2-(-6)=8,
∵平移前顶点坐标为(-1,2),
2+8=10,
∴平移后顶点坐标N(-1,10),
∴NK===4,
所以,NK的长是4.
解析分析:(1)令y=0,解关于x的一元二次方程,即可得到点A、B的坐标;然后把点A的坐标代入直线l的解析式,计算即可证明点A在直线上;
(2)根据轴对称的性质可得AH=AB,根据直线l的解析式求出直线l与x轴的夹角为30°,然后得到∠HAB的度数是60°,过点H作HC⊥x轴于点C,然后解直角三角形求出AC、HC,从而得到OC的长度,然后写出点H的坐标,再把点H的坐标代入抛物线解析式计算求出m的值,即可得解;
(3)根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BK的解析式的k值,然后利用待定系数法求出直线BK的解析式,与直线l的解析式联立求解得到点K的值,再利用抛物线解析式求出相应横坐标上的点,从而求出抛物线向上移动的距离,然后得到平移后的抛物线的顶点N的坐标,根据两点间的距离公式计算即可得到NK的值.

点评:本题是二次函数综合题型,主要涉及求与x轴的交点坐标,二次函数图象上的点的坐标特征,轴对称图形的性质,解直角三角形,待定系数法求二次函数解析式,联立两直线解析式求交点坐标,两点间的距离公式,综合性较强,难度较大.
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