梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，对角线BD平分∠ABC，（1）求证：四边形ABED是菱形．（2）若∠ABC与∠C互余，BC=8，CD=4，求梯形ABCD的周长

网友回答

（1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBD，
∵AB∥DE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠EBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴四边形ABDE是菱形；

（2）解：设AB=x，
∵四边形ABED为菱形，
∴AD=AB=BE=ED=x，
∴CE=BC-BE=8-x，
∵∠DEC=∠ABC，∠ABC+∠C=90°，
∴∠DEC+∠C=90°，
∴∠CDE=90°
∴DE2+CD2=CE2√
∴42+x2=（8-x）2，
∴x=3
∴梯形ABCD的周长=x+x+8+4=18．

解析分析：（1）由已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的性质证明其邻边相等即可证明四边形ABED是菱形；
（2）设AB=x，由（1）可知四边形ABED是菱形，所以AD=AB=BE=ED=x，再有条件∠ABC与∠C互余，可证明三角形EDC是直角三角形，利用勾股定理建立方程求出x的值即可．

点评：本题考查了梯形、勾股定理的运用、菱形的判定以及菱形的性质，难度一般，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理及菱形的性质．