设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2（1）证明f（x）为奇函数．（2）证明f（x）在R上是减

网友回答

解：（1）由于函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，可得f（0）=0．
再令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），即 0=f（x）+f（-x），化简可得f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（2）设x1＜x2，则△=x2-x1＞0，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（ x2-x1 ）=f（x2）-f（x1）．
再由当x＞0时，f（x）＜0，可得? f（ x2-x1 ）＜0，即-f（x1）+f（x2）＜0，故有f（x1）＞f（x2），
故f（x）在R上是减函数．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，则f（2x+5+6-7x）=f（11-5x）＞4．
再由f（1）=-2，可得f（ 11-5x）＞f（-2），结合f（x）在R上是减函数可得 11-5x＜-2，解得x＞，
故x的范围为 （，+∞）．
解析分析：（1）在所给的等式中，令x=y=0，可得f（0）=0．再令y=-x，可得f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）设x1＜x2，则△=x2-x1＞0，根据f（ x2-x1 ）=-f（x1）+f（x2）；以及当x＞0时，f（x）＜0，可得 f（ x2-x1 ）＜0，即-f（x2）-f（x1）
＜0，即f（x1）＞f（x2），可得f（x）在R上是减函数．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，则f（11-5x）＞4，即f（ 11-5x）＞f（-2），结合f（x）在R上是减函数可得 11-5x＜-2，由此解得x的范围．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．