如图,若⊙O的半径为R,弦AB⊥CD于点E,求证:AC2+BD2=4R2.
网友回答
证明:作直径AF,连接CF、BF.
∵AF是直径,
∴∠ACF=∠ABF=90°.
∴EB⊥AB,
又∵AB⊥CD,
∴BF∥CD,
∴弧CF=弧BD,
∴CF=BD.
根据勾股定理,得
AC2+BD2=AC2+CF2=AE2=(2R)2=4R2.
解析分析:作直径AF,连接CF、BF.根据直径所对的圆周角是直角,得∠ACF=∠B=90°,则BF∥CD,根据平行弦所夹的弧相等,得弧CF=弧BD,则CF=BD.根据勾股定理即可求解.
点评:此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理.